समलम्बाकार नियम के साथ क्षेत्रफल का अनुमान कैसे लगाएं

समलम्ब चतुर्भुज नियम के साथ, आयतों का उपयोग करके क्षेत्रफल का अनुमान लगाने के बजाय (जैसा कि आप बाएँ, दाएँ और मध्यबिंदु आयत विधियों के साथ करते हैं), आप क्षेत्रफल का अनुमान लगा सकते हैं — क्या आप अनुमान लगा सकते हैं? - समलम्बाकार।

जिस तरह से ट्रेपेज़ॉइड वक्र को गले लगाते हैं, वे आपको बाएँ या दाएँ आयतों की तुलना में बहुत बेहतर क्षेत्र अनुमान देते हैं। और यह पता चला है कि एक समलम्बाकार सन्निकटन बाएँ आयत और दाएँ आयत सन्निकटन का औसत है। क्या आप देख सकते हैं क्यों? (संकेत: प्रत्येक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल बाएँ और दाएँ आयत योगों में दो संगत आयतों के क्षेत्रफलों का औसत होता है।)



नीचे दिया गया आंकड़ा फंक्शन के तहत खींचे गए तीन ट्रेपेज़ॉइड दिखाता है एक्स दो+1।



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इस आंकड़े के नज़रिए से, आप उम्मीद कर सकते हैं कि एक ट्रैपेज़ॉयड अनुमान मध्यबिंदु आयताकार अनुमान से बेहतर होगा, लेकिन वास्तव में, एक सामान्य नियम के रूप में, मध्यबिंदु रकम ट्रैपेज़ॉयड अनुमानों से लगभग दोगुनी अच्छी होती है।



यदि आपने पहले से ही किसी विशेष फ़ंक्शन और आयतों की एक निश्चित संख्या के लिए बाएँ और दाएँ आयत सन्निकटन पर काम किया है, तो आप संबंधित समलम्बाकार अनुमान प्राप्त करने के लिए उनका औसत निकाल सकते हैं (इस समस्या के लिए, आपको वह उत्तर पता है जो आपको मिलने वाला है है (8 + 17)/2 = 12.5)। यदि नहीं, तो यहाँ सूत्र है:

समलम्बाकार नियम:

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उपरोक्त आकृति में तीन समलम्बाकार के साथ कार्य के लिए, यहाँ गणित है:

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भले ही निश्चित समाकल की औपचारिक परिभाषा अनंत संख्या में आयतों के योग पर आधारित हो, आप एकीकरण को अनंत पर समलम्बाकार नियम की सीमा के रूप में सोच सकते हैं। आप वक्र पर जितना अधिक ज़ूम इन करते हैं, वह उतना ही सख्त होता जाता है। जब आप अधिक से अधिक संख्या में ट्रैपेज़ॉइड का उपयोग करते हैं और फिर उस स्थान पर ज़ूम इन करते हैं जहां ट्रैपेज़ॉइड वक्र को छूते हैं, तो ट्रेपेज़ॉइड के शीर्ष वक्र के करीब और करीब आते हैं। यदि आप असीम रूप से ज़ूम इन करते हैं, तो असीम रूप से कई ट्रेपेज़ॉइड के शीर्ष वक्र बन जाते हैं और इस प्रकार, उनके क्षेत्रों का योग आपको वक्र के नीचे का सटीक क्षेत्र देता है। यह सोचने का एक अच्छा तरीका है कि एकीकरण सटीक क्षेत्र क्यों पैदा करता है - और यह अवधारणात्मक रूप से समझ में आता है - लेकिन यह वास्तव में इस तरह से नहीं किया जाता है।

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